เผ่าพันธุ์กระต่ายกับ Fibonacci number

This article is written in Thai, categorized under In Thai. It is about the Fibonacci sequence which can be explained by an unnatural rabbit breed. Please read this Maths.org article written in English if you want to know more about this rabbit breed and the Fibonacci.

สมัยผมเรียนปริญญาตรี ผมได้เรียนเรื่องเลขฟีโบนัชชี ในชั่วโมงเรียนผมไม่ค่อยได้สนใจอะไรมากหรอกนะว่าเลขดังกล่าวน่าสนใจอย่างไร จนกระทั่งผมได้ยินอาจารย์บอกว่า เลขนี้อธิบายด้วยเรื่องราวการขยายเผ่าพันธุ์ของกระต่าย!

เลขฟีโบนัชชี เป็นตัวเลขอนุกรมหรือลำดับที่เรียงกัน และก็เรียงกันอย่างมีแบบแผน อนุกรมดังกล่าวค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีนามว่า Leonardo Pisano Bigollo หรือรู้จักกันกว้างขวางในนามว่า Fibonacci อันเป็นชื่อของเลขอนุกรมนี้นี่เอง

หากอธิบายแบบคณิตศาสตร์ เลขฟีโบนัชชีอธิบายได้ดังนี้

F[n] = F[n-1] + F[n-2]

โดย n คือจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ขึ้นไป และกำหนดค่าตั้งต้นของ F[0] = 0 และ F[1] = 1

ถ้าอธิบายด้วยศัพท์ง่ายๆก็คือ เลขฟีโบนัชชีเกิดจากการบวกกันของเลขฟีโบนัชชีที่มีลำดับอยู่ก่อนหน้านี้ 2 ตัวติดกัน ดังนั้น อนุกรมเลขฟีโบนัชชี 10 จำนวนแรกมีดังนี้

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

อธิบายให้เห็นการคำนวณได้ดังนี้

0, 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13+ 21 = 34

กลับมาสู่หัวข้อกันต่อว่าเผ่าพันธุ์กระต่ายไปเกี่ยวอะไรกับเลขฟีโบนัชชี

เวลาอธิบายอนุกรมของเลขฟีโบนัชชีกันเนี่ย เขายกตัวอย่างผ่านเรื่องราวการผสมพันธุ์ของกระต่าย โดยเป็นเผ่าพันธุ์กระต่ายในอุดมคติ (หรือเผ่าพันธุ์กระต่ายที่สมมติขึ้นมา ไม่มีอยู่จริงในธรรมชาติ) เพื่อให้การเล่าเรื่องการผสมพันธุ์ของกระต่าย เอ้ย! เพื่อให้การเล่าเรื่องเลขฟิโบนัชชีฟังดูเพลิดเพลิน เรามาตั้งข้อสมมติ (หรือ assumption) ของเผ่าพันธุ์กระต่ายนี้กันเถอะ (ผมอาจอธิบายต่างจากบางตำรา ก็เพื่อลดความยุ่งยากในการอธิบาย)

ข้อสมมติ มีดังนี้

  1. เมื่อใดที่กระต่ายกำเนิดขึ้น กระต่ายสามารถผสมพันธุ์ได้เมื่อมีอายุครบ 1 เดือน
  2. กระต่ายตัวผู้ผสมพันธุ์กับกระต่ายตัวเมียเท่านั้น (อันที่จริง ข้อนี้เป็นที่เข้าใจกันอยู่แล้ว)
  3. กระต่ายเมื่อมีคู่แล้ว จะไม่นอกใจ โดยจะผสมพันธุ์กับคู่รักของมันเท่านั้น และกระต่ายจะผสมพันธุ์กับคู่รักทุกๆเดือน (ไม่มีเดือนไหนว่างเว้น)
  4. เมื่อกระต่ายคู่นึงผสมพันธุ์กันแล้ว กระต่ายตัวเมียจะตั้งท้อง และจะคลอดกระต่ายคู่ใหม่ 1 คู่ในเดือนถัดไป (ตั้งท้อง 1 เดือนแล้วจึงคลอด) ลูกกระต่ายที่เกิดขึ้นจะเป็นตัวผู้และตัวเมียอย่างละตัว โดยกระต่ายคู่ใหม่นี้จะเกิดมาเป็นคู่รักกัน และจะผสมพันธุ์กันเมื่อพร้อม (นั่นคือ อายุครบ 1 เดือน)
  5. กระต่ายพันธุ์นี้ไม่มีวันตาย ไม่มีเหน็ดเหนื่อย เมื่อมีการผสมพันธุ์ ตัวเมียสามารถตั้งท้องและคลอดลูกได้ปลอดภัยแน่นอน

อย่าลืมว่า นี่เป็นการสมมตินะ ไม่มีกระต่ายสายพันธุ์เช่นนี้เกิดขึ้นจริง

สัญลักษณ์

  1. เพื่อความง่ายในการเรียกชื่อคู่ของกระต่าย ผมขอใช้สัญลักษณ์ P(x) แทนคู่ของกระต่ายตัวผู้กับตัวเมียที่เป็นคู่รักกัน โดย x คือหมายเลขคู่ เป็นเลขที่เรียงลำดับการเกิดขึ้นก่อนหลังของคู่กระต่ายด้วย โดยกระต่ายคู่แรกมีหมายเลข 1 ดังนั้น P(1) แทนกระต่ายคู่แรกที่ถือกำเนิดขึ้นในโลกนั่นเอง
  2. ขอกำหนดสัญลักษณ์ P(x)+ หมายถึง กระต่ายตัวผู้ตัวเมียคู่ที่ x ที่เพิ่งเกิดใหม่และยังไม่พร้อมผสมพันธุ์ โดยจะผสมพันธุ์กันได้ก็ต่อเมื่อกระต่ายคู่นี้มีอายุครบ 1 เดือน และเมื่อกระต่ายคู่นี้พร้อมผสมพันธุ์จึงสามารถใช้สัญลักษณ์ P(x) แบบไม่มีเครื่องหมาย “บวก” ได้
  3. ขอกำหนดสัญลักษณ์ F[n] สำหรับนับจำนวนคู่กระต่ายทั้งหมดในเผ่าพันธุ์ของเดือนที่ n
  4. กำหนดให้ F[0] คือช่วงเวลาก่อนที่จะมีกระต่ายถือกำเนิดขึ้นมา หรือ F[0] = 0

อธิบายการขยายเผ่าพันธุ์ของกระต่าย

ในช่วงเวลาๆใดๆ ยังไม่มีกระต่ายพันธุ์นี้ถือกำเนิดขึ้น เราเรียกช่วงเวลานี้ว่า เดือนที่ 0 โดย F[0] = 0 จนกระทั่งอยู่มาวันนึง กระต่ายคู่แรกได้ถือกำเนิดขึ้น และเดือนที่ 1 ของเผ่าพันธุ์กระต่ายจึงได้เริ่มต้นขึ้น

  1. เดือนที่ 1 กระต่ายคู่แรกหรือ P(1)+ เกิดขึ้น อีกครั้งว่า ที่เป็น P(1)+ (มีเครื่องหมาย “บวก”) หมายถึง คู่นี้ยังไม่โตพอที่จะผสมพันธุ์กันได้ ดังนั้น ในเดือนแรก F[1] = 1 หรือมีกระต่ายทั้งหมดเพียง 1 คู่ นั่นคือ P(1)+
  2. เดือนที่ 2 กระต่ายคู่แรกผสมพันธุ์กันได้ จึงเรียกคู่นี้ว่า P(1) (ไม่มีเครื่องหมาย “บวก” แล้ว) และตัวเมียตั้งท้อง โดยในเดือนที่สอง ก็ยังมีกระต่ายแค่คู่เดียว หรือ F[2] = 1 เพราะตัวเมียเพิ่งตั้งท้อง ยังไม่ได้คลอดลูกกระต่ายออกมา (โดยใช้เวลาตั้งท้อง 1 เดือน)
  3. เดือนที่ 3 กระต่ายคู่แรกให้กำเนิดลูกกระต่ายคู่ใหม่ คือ P(2)+ ทำให้ F[3] = 2 โดยมีคู่กระต่ายทั้งหมด ได้แก่ P(1), P(2)+
  4. เดือนที่ 4 กระต่ายคู่แรกหรือ P(1) ให้กำเนิดลูกคู่ใหม่คือ P(3)+ ส่วน P(2) เพิ่งสามารถผสมพันธุ์ได้ ดังนั้น F[4] = 3 โดยมีคู่กระต่ายทั้งหมด ได้แก่ P(1), P(2), P(3)+
  5. เดือนที่ 5 คู่ P(1) และ P(2) ให้กำเนิดกระต่าย 2 คู่ใหม่คือ P(4)+ และ P(5)+ ส่วน P(3) เพิ่งพร้อมผสมพันธุ์ ดังนั้น F[5] = 5 โดยมีคู่กระต่ายทั้งหมด ได้แก่ P(1), P(2), P(3), P(4)+, P(5)+
  6. เดือนที่ 6 คู่ P(1), P(2), P(3) ให้กำเนิดกระต่าย 3 คู่ใหม่คือ P(6)+, P(7)+ และ P(8)+ ส่วน P(4) และ P(5) เพิ่งสามารถผสมพันธุ์ได้ ดังนั้น F[6] = 8 โดยมีคู่กระต่ายทั้งหมด ได้แก่ P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6)+, P(7)+, P(8)+

ขออธิบายถึงแค่ 6 เดือนก็พอนะ จะเห็นได้ว่า F[6] หรือจำนวนคู่ของกระต่ายในเดือนที่หกมีทั้งหมด 8 คู่ด้วยกัน เอ๊ะ! สังเกตเห็นอะไรไหมครับ ลองกลับไปดูสมการ F[n] = F[n-1] + F[n-2] ด้านบนอีกที (คุ้นๆไหมเอ่ย) ลองเขียนออกมาเป็น F[6] = F[5] + F[4] ดูซิ ซึ่งแทนค่า F[5] กับ F[4] เข้าไป จึงได้ว่า F[6] = 5 + 3 = 8 อ้อ! นั่นคือ เลขฟิโบนัชชีตัวที่ 6 ที่เกิดจากเลขฟิโบนัชชีตัวที่ 5 กับตัวที่ 4 รวมกันนั่นเอง

โดยสรุปจากเรื่องราวของกระต่าย F[n] ก็คือ จำนวนคู่รักของกระต่าย และก็เป็นเลขฟิโบนัชชีด้วยประการฉะนี้แล

แก้ไขจากบทความของผม โพสต์ครั้งแรกที่ javaboom.wordpress.com วันที่ 31 มกราคม พ.ศ. 2555

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*